CAPITALIZZAZIONE

Procedimento matematico per il computo dell’accumulazione degli interessi maturati sul capitale iniziale. Dato C il capitale iniziale e I gli interessi maturati, il risultato dell’accumulazione, detto montante, sarà M=C+I. Gli interessi maturati I sono ottenuti applicando al capitale il tasso r per il tempo t. Il tasso r va sempre indicato in ragione di un periodo determinato, generalmente l’anno (in tal caso, p.e., un tasso del 5% indica che un impiego di un anno renderà 5 € per ogni 100 € di capitale). I problemi di capitalizzazione riguardano la dinamica temporale di un certo impiego (mentre i problemi di attualizzazione riguardano la valutazione di somme disponibili in futuro a certe epoche). La matematica finanziaria mutua dalla pratica degli affari due principali modi, o regimi, di calcolare il valore di M in funzione del tempo t, dato il tasso di interesse r: regime di capitalizzazione semplice e regime di capitalizzazione composta. La pratica impiega inoltre anche il regime di capitalizzazione mista. Un quarto regime, detto di capitalizzazione continua è impiegato nella teoria finanziaria ed economica. Nei primi tre regimi l’interesse viene computato solo a partire dal momento della sua scadenza naturale, mentre nel regime di capitalizzazione continua lo si computa per la quota maturata a ogni istante considerato (per cui è detto anche di capitalizzazione istantanea).

1.
Capitalizzazione semplice. Nel regime di capitalizzazione semplice gli interessi non producono interessi e si sommano semplicemente via via al capitale iniziale. Il montante è proporzionale al tempo, cioè alla durata di applicazione del tasso. Sarà quindi: interesse I = Crt e M = C+I = C+Crt = C(1+rt), dove (1+rt) è detto fattore di capitalizzazione. Posto r espresso in ragione d’anno, per periodi diversi dall’anno pieno si avrà: I = Crg/365 e M = C(1+rg/365), dove g sono i giorni di impiego del capitale. P.e., per 1.000 € impiegati al 5% si avrà per tre mesi (90 giorni) M = 1.000x(1+0,05x90/365) = 1.012,329 € e, per 15 mesi (450 giorni), M = 1.000x(1+0,05x450/365) = 1.061,644.

2. Capitalizzazione
composta. Nel regime di capitalizzazione composta l’interesse prodotto in ogni periodo si somma al capitale e produce a sua volta interessi, di modo che il montante è calcolato con una formula dove il tempo è posto in esponente: M= C(1+r) t, dove (1+r) t è il fattore di capitalizzazione composta. Il frutto del capitale maturato al tempo t è I = C[(1+r) t -1]. Per i due casi precedenti avremo a 90 giorni M=1.000x(1+r) (90/ 365) = 1.012,103, mentre per 450 giorni la formula dà un montante di 1.061,998 €. Il procedimento dell’interesse composto traduce la regola dell’anatocismo, mentre la formula dell’interesse semplice rispecchia la normativa legale del divieto dell’anatocismo. Da notare che per impieghi di durata inferiore al periodo di riferimento del tasso r (che nell’esempio fatto è l’anno) la capitalizzazione composta dà un montante inferiore a quello calcolato con capitalizzazione semplice e viceversa per impieghi di durata superiore. Il prodotto delle due formule sono identici solo quando la durata dell’impiego è la stessa del periodo di riferimento del tasso.

3. Capitalizzazione mista
. Nella capitalizzazione mista si applica il regime della capitalizzazione semplice per le frazioni d’anno e quello della capitalizzazione composta per gli anni interi. Il regime di capitalizzazione mista è quello utilizzato per la liquidazione degli interessi di conto corrente, anche in banca. Dato un conto corrente acceso il 1° ottobre del 1998 ed estinto il 30 giugno 2002, con una frazione del 1998 pari a 0,25 unità, 3 anni interi e una frazione del 2002 pari a 1/2 unità, il computo del montante avverrà con questa formula:  C(1+0,25r) (1+r) 3(1+05r). Al tasso del 2,5% un capitale iniziale di 1.000€ realizzeranno al termine un montante di 1.097,17 €.

4. Capitalizzazione continua
. La capitalizzazione continua, o istantanea, è anch’essa un procedimento esponenziale rappresentato elementarmente dalla formula M = Ceδtdove δ è il tasso istantaneo pari a δ=logt(1+r) ed e è il numero di Neper.