TAVOLA INPUT OUTPUT (Enciclopedia)

L’analisi Input – Output ( o analisi delle interdipendenze settoriali) è legato al nome dell’economista russo-americano Wassily Leontief che ne presentò una prima versione nel 1936. Egli ha inizialmente ripreso l’intuizione fondante di F. Quesnay che, nel Tableau économique, per primo indagò le relazioni economiche esistenti tra classi sociali e settori produttivi, considerando, quindi, l’economia come un insieme di settori.
Il Modello I-O è uno schema di equilibrio economico generale, legato alla tradizione Walras-Pareto ed "elaborato per dar luogo ad applicazioni empiriche: per provvedere, cioè, alla misura delle relazioni che intercorrono tra le singole sezioni ("settori", "attività") di un sistema economico; e per quantificare gli effetti di determinate decisioni di politica economica"1
Nel suo modello, Leontief tiene conto dei diversi settori in cui è suddivisa l’economia, definisce le relazioni che intercorrono tra i settori stessi, "ed in particolare, il valore dei flussi dei beni e servizi prodotti ed utilizzati dalle singole branche dell’economia"2
Lo strumento di analisi necessario per analizzare le interdipendenze settoriali è la tavola Input – Output, una matrice a doppia entrata costituita da tre sottomatrici. 
La sottomatrice branche – branche, anche denominata tavola degli impieghi intermedi, descrive tutti i flussi intermedi tra le varie branche di produzione, prima che l’output finale sia reso disponibile per il mercato dei consumi o per quello degli investimenti. Questa sotto matrice assume la forma di una matrice quadrata in cui ad ogni riga ed ad ogni colonna corrisponde una branca di produzione omogenea. Nel senso delle colonne si registrano i flussi di beni e servizi che ciascun settore acquista da tutti gli altri, mentre, nel senso delle righe sono registrati i flussi che ciascun settore vende a tutti gli altri.
La sottomatrice branche – fattori di produzione indica i redditi che vanno a remunerare i fattori di produzione, è anche definita tavola degli impieghi primari e delle risorse. Evidenzia il valore aggiunto e le sue componenti, quali retribuzioni, oneri sociali, ammortamenti ed altri redditi, ma anche le imposte, la produzione, le importazioni ed il totale delle risorse delle branche produttive. Le righe della matrice rappresentano i costi e le risorse, mentre le colonne mostrano le branche.
La sottomatrice branche – impieghi finali, anche detta tavola degli impieghi finali, registra, infine, i flussi finali relativi all’incrocio tra branche e domanda finale suddivisa in consumo privato, spesa pubblica, investimenti ed esportazioni. La tavola riporta i beni e servizi che dalle branche di origine affluiscono alla domanda finale. Come le altre, anche questa sottomatrice rappresenta una tabella a doppia entrata, nella quale per riga troviamo le branche e per colonna gli impieghi finali dei prodotti.
La lettura della matrice I-O nel senso delle colonne consente di analizzare per ciascuna branca, il processo di formazione delle risorse e la struttura dei costi di produzione; i totali di ogni colonna, rappresentano quindi, gli acquisti effettuati da ciascuna branca.
Leggendo la matrice nel senso delle righe, invece, è possibile analizzare la produzione delle branche secondo la destinazione, ossia il risultato dell’attività produttiva ripartito per ciascuna branca; i totali di ogni riga rappresentano, quindi, le vendite realizzate da ogni branca. 
Leontief suppone che l’economia di un paese sia suddivisa in n attività, ciascuna delle quali produce un prodotto omogeneo. Ogni attività per funzionare assorbe risorse, gli inputs, ma allo stesso tempo dà vita ai prodotti, o outputs. 
Considerando la tavola degli impieghi intermedi, ed indicando con Xi il volume della produzione realizzata dalla branca i, si considera il seguente sistema di equazioni:
. (1)
Per poter operare sul suddetto sistema di equazioni e "rappresentare lo stato della tecnica di produzione del sistema economico"3, la tavola degli impieghi intermedi viene trasformata in matrice dei coefficienti ammettendo l’ipotesi di tecnologia lineare, secondo cui "in ciascuna attività produttiva la quantità di inputs assorbita sia, per ciascun input, strettamente proporzionale al volume dell’output conseguibile"4. In questo modo, si stabiliscono i coefficienti tecnici, così definiti in quanto indicano la quantità di input della branca i necessaria per realizzare un’unità di output della branca j. 
i, j = 1, 2, …,n (2)
La (2) esprime l’equazione generale dei coefficienti tecnici. Se al variare della dimensione della produzione, questi coefficienti rimangono invariati, e dunque, il rendimento delle diverse risorse rimane costante in ogni settore, le equazioni del sistema (1), possono scriversi nel seguente modo:
(3)
La (3) esprime il sistema di equazioni di bilancio della Tavola I-O, dove n rappresenta il numero dei settori, Y esprime la domanda finale soddisfatta dalla produzione interna, i è il numero dei settori di origine dei vari flussi, ed infine e j è quello di destinazione.
Ciascuna relazione del sistema (3) esprime il livello di produzione per ogni singolo settore, che dipendono dai coefficienti tecnici , i livelli di produzione degli altri settori produttivi e le domande finali .
Usando una notazione compatta, il sistema (3) si può scrivere come:
(4)
dove I è la matrice unità, ovvero la matrice (n x n) con elementi tutti nulli tranne quelli sulla diagonale principale che sono pari ad uno. A è la matrice (n x n) dei coefficienti tecnici , x è il vettore colonna delle n produzioni lorde, mentre y rappresenta il vettore della domanda soddisfatto dalla produzione. 
La soluzione sarà data allora da:
(5)
che ammette unica soluzione se il determinante della matrice I-A è diverso da zero.
Il modello aperto input-output può essere espresso in forma differenziale come segue:
(6)
dove dX rappresenta il vettore (n x 1) delle variazioni dei livelli di produzione, A è la matrice input output (n x n), dA la matrice delle variazioni dei coefficienti input output a,d, dY l’(n-1)esimo vettore di variazione della domanda finale.
Le relazioni tra i fattori produttivi e la produzione può essere altresì rappresentata in forma differenziale come segue 
(7)
dove dZ esprime il vettore (m x 1) delle variazioni dei livelli di occupazione dei fattori della produzione q, F rappresenta la matrice input output (m x n) tra fattori e prodotti e dF la sua corrispondente matrice delle variazioni.
Supponendo una variazione esogena della domanda e della matrice input output si ottiene:
(8)
Inoltre, combinando la (7) e la (8) si ottiene un vettore di variazione della produzione e dei livelli di occupazione dei fattori produttivi a fronte di variazioni esogene della domanda finale.
Questa espressione può essere utilizzata per valutare l’impatto di una variazione esogena nella domanda finale e/o nella tecnologia nel sistema economico, sotto le ipotesi che l’offerta di fattori produttivi è sufficientemente flessibile rispetto alla crescita della domanda. In molte applicazioni, i coefficienti delle matrici A e F sono assunti costanti.
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1D’Antonio M. (1980) Analisi delle interdipendenze settoriali: Teoria e applicazioni empiriche, Liguori Editore, Napoli.
2Scandizzo P.L., Miali M., (2003) Italia: 1995/2000. Analisi e scomposizione strutturale della variazione dell’output attraverso l’utilizzo della tavola I-O e della matrice di contabilità sociale (SAM).
3Scandizzo P.L., Miali M (2003), Italia: 1995/2000. Analisi e scomposizione strutturale della variazione dell’output attraverso l’utilizzo della tavola I-O e della matrice di contabilità sociale (SAM).
4D’Antonio M. (1980) Analisi delle interdipendenze settoriali: Teoria e applicazioni empiriche, Liguori Editore, Napoli.
Bibliografia
Leontief, Wassily. [1941] 1953. The Structure of the American Economy. Oxford University Press. 
Leontief, Wassily W. Input-Output Economics. 2nd ed., New York: Oxford University Press, 1986
D’Antonio M. (1980) Analisi delle interdipendenze settoriali: Teoria e applicazioni empiriche, Liguori Editore, Napoli
Scandizzo P.L., Miali M (2003), Italia: 1995/2000. Analisi e scomposizione strutturale della variazione dell’output attraverso l’utilizzo della tavola I-O e della matrice di contabilità sociale (SAM).

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